Aufgaben zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Mathematik und Geometrie für die fünfte Jahrgangsstufe

Umfassende Übungsblätter mit zahlreichen Aufgabenstellungen bezüglich des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) und des größten gemeinsamen Teilers (ggT) für den Mathematikunterricht in der fünften Klasse an Gymnasien und Realschulen - leicht als PDF herunterzuladen und unkompliziert auszudrucken.

Definitionen: Was bedeuten kgV und ggT?

Das kgV repräsentiert das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen; es bezeichnet folglich die geringste Zahl, welche sowohl von der ersten als auch der zweiten Ausgangszahl als Vielfaches aufgenommen werden kann.

Als Veranschaulichung: Das kgV der Zahlen 4 und 5 beläuft sich auf 20.

Der ggT bezeichnet den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen, mit anderen Worten, die größte Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen restlos dividierbar sind.

Ein Beispiel verdeutlicht: Für die Zahlen 12 und 32 beträgt der ggT den Wert 4.

Preise liegen zwischen siebzehn Euro fünfundneunzig Cent und zwanzig Euro fünfundneunzig Cent (jeweils zzgl. Sternchen).

Hier geht's zur Ansicht!

Auf welche Weise lassen sich sämtliche Teiler einer spezifischen Zahl ermitteln?

Dafür existieren diverse nützliche Faustregeln:

• Eine beliebige Zahl lässt sich stets durch die Eins und durch sich selbst ohne Rest dividieren.
• Liegt eine geradzahlige Größe vor, so gehört die Ziffer Zwei ebenfalls zu ihren Teilern.
• Sofern die Quersumme einer Zahl durch drei teilbar ist, ist die Zahl als Ganzes ebenfalls durch drei dividierbar.
• Ist eine Zahl größer als einhundert, genügt die Prüfung der Teilbarkeit durch vier, sofern die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl dies zulässt.
• Wenn die Zahl mit Null oder Fünf abschließt, kann sie durch fünf geteilt werden.
• Die Teilbarkeit einer Zahl durch sechs ist gegeben, falls sie sowohl durch zwei als auch durch drei teilbar ist.
• Sofern eine Zahl tausend überschreitet, genügt es, die Teilbarkeit durch acht der aus den letzten drei Ziffern resultierenden Zahl zu überprüfen.
• Sollte die Quersumme einer Ziffer durch neun teilbar sein, dann ist die komplette Zahl gleichfalls durch neun dividierbar.
• Falls die Zahl auf eine Null endet, ist ihre Teilbarkeit durch zehn gewährleistet.

Alternativ lassen sich die Teiler auch mittels einer Primfaktorenzerlegung ermitteln:

• Zunächst sind die Primfaktoren zu bestimmen.
• Anschließend werden Produkte aus den ermittelten Faktoren gebildet; diese fungieren gleichermaßen als Teiler der betrachteten Zahl.
• Es darf nicht vergessen werden, den spezifischen Teiler Eins und die Zahl selbst zu berücksichtigen.

Wie ermittelt man die Vielfachen einer gegebenen Zahl?

• Den Anfang macht das erste Vielfache, das stets der Ausgangszahl selbst entspricht (resultierend aus der Multiplikation mit Eins).
• Anschließend wird die Prozedur mit den Produkten der Zahl und den aufsteigenden natürlichen Zahlen Zwei, Drei, Vier und so weiter fortgesetzt.
   

Beispiel:
Die Vielfachen der Ziffer Drei
1 ·3 = 3     2 · 3 = 6     3 · 3 = 9     4 · 3 = 12     5 · 3 = 15 …
= V₃ = {3; 6; 9; 12; 15; …}

Welche Methoden existieren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) für zwei gegebene Zahlen?

Erster Ansatz: Die Ermittlung der Teilermengen beider Zahlen

• Zuerst sind die entsprechenden Teilermengen beider Zahlen zu eruieren.
• Die Zahl, die am größten ist und in beiden Teilermengen präsent ist, repräsentiert sodann den ggT der beiden Zahlen.
   

Beispiel:
Als Beispiel soll der ggT von 12 und 32 ermittelt werden.
Die Teilermenge der Zwölf umfasst {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
Die Teilermenge der Zweiunddreißig beinhaltet {1; 2; 4; 8; 16; 32}.
Die größte der Zahlen, die in beiden Mengen auffindbar ist, ist die Vier; folglich beträgt der ggT von Zwölf und Zweiunddreißig exakt Vier, d.h., ggT (12; 32) = 4.

Wichtiger Hinweis: Nicht zwangsläufig existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler für jedes Zahlenpaar. Sind die Zahlen als teilerfremd zu klassifizieren, so teilen sie lediglich die Eins als gemeinsamen Teiler.

Zweiter Ansatz: Anwendung der Primfaktorzerlegung

• Für jede der beiden Zahlen ist deren Primfaktorzerlegung zu ermitteln und in Potenzform niederzuschreiben.
• Anschließend wird das Produkt jener Potenzen gebildet, welche in beiden Primfaktorzerlegungen präsent sind und den geringsten Exponenten aufweisen. Dieses Resultat stellt dann den ggT der betreffenden Zahlen dar.
   

Beispiel:
Als illustrative Berechnung dient die Ermittlung des ggT von Zwölf und Zweiunddreißig.
Die Primfaktorzerlegung der Zahl 12 ergibt 2 · 2 · 3, was als 2² · 3 notiert wird.
Für die Zahl 32 lautet die Primfaktorzerlegung 2 · 2 · 2 · 2 · 2, also 25.
In beiden Zerlegungen ist der Primfaktor 2 enthalten, wobei dessen niedrigste Potenz 2² beträgt. Somit ist der ggT von Zwölf und Zweiunddreißig die Zahl 2², was Vier entspricht; in Formelschreibweise: ggT (12; 32) = 2² = 4.

Auf welche Art wird das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei gegebenen Zahlen ermittelt?

Erster Ansatz: Ermittlung der Vielfachenmengen beider Zahlen

• Initial werden einige Vielfache beider Zahlen ermittelt und notiert.
• Die geringste Zahl, welche in beiden Mengen präsent ist, stellt das kleinste gemeinsame Vielfache der betreffenden Zahl dar.

Beispiel: Als Beispiel wird das kgV von Zwanzig und Vierundzwanzig gesucht.
Die Vielfachen von Zwanzig sind: V₂₀ = {20; 40; 60; 80; 100; 120; 140; 160; … }.
Die Vielfachen von Vierundzwanzig umfassen: V₂₄ = {24; 48; 72; 96; 120; 144; … }.
Die geringste Zahl, welche sich in beiden Vielfachenmengen findet, ist Einhundertzwanzig; demzufolge repräsentiert die Zahl 120 das kgV von Zwanzig und Vierundzwanzig, also kgV (20; 24) = 120.

Zweite Methode: Nutzung der Primfaktorzerlegung

• Ermittle für jede der zwei Zahlen deren Primfaktorzerlegung und notiere sie in Potenzschreibweise.
• Im nächsten Schritt ist das Produkt der Potenzen zu bilden, die jeweils die höchsten Exponenten besitzen. Das resultierende Produkt entspricht dann dem kgV der beiden Zahlen.
   

Beispiel:
Als Anwendungsbeispiel wird das kgV von Zwanzig und Vierundzwanzig gesucht.
Die Primfaktorzerlegung der Zahl 20 lautet 2 · 2 · 5, dargestellt als 2² · 5.
Für die Zahl 24 ist die Primfaktorzerlegung 2 · 2 · 2 · 3, also 2³ · 3.
Die Potenzen mit den höchsten Exponenten sind 2³, 3 und 5. Folglich ist das kgV der Zahlen Zwanzig und Vierundzwanzig diejenige, die aus dem Produkt 2³ · 3 · 5 resultiert, welches 120 beträgt. Dies entspricht der Notation kgV (20; 24) = 2³ · 3 · 5 = 120.

Eine Zusammenstellung von Prüfungsaufgaben, konzipiert für den Mathematikunterricht der fünften Jahrgangsstufe an weiterführenden Bildungseinrichtungen. Lösungen sind selbstverständlich inbegriffen. Diese Mappe, die neunzehn Tests enthält, entstammt den Königspaketen.

Preise belaufen sich auf siebzehn Euro neunzig Cent bis neunzehn Euro vierzig Cent (jeweils mit Sternchenhinweis).

Gleich hier ansehen!

Übungsblätter und Aufgaben zu den Themen kgV und ggT